Propietats dels Triangles

Propietats:

·Classificació segons els costats
Els triangles es poden classificar segons la longitud dels seus costats:
Triangle equiláter és aquell en què tots tres costats tenen la mateixa llargada. Un triangle equilàter també és equiangular, és a dir, tots els seus angles interns són iguals (60 graus).
Triangle isòsceles és aquell en què dos dels costats són iguals. Un triangle isòsceles també té dos angles interns iguals.
Triangle escalè és el que té tots els costats de diferent longitud. Els angles interns d'un triangle escalès són tots diferents.

Triangle Equilàter Triangle Isòsceles Triangle Escalè


·Classificació segons els angles
També es poden classificar segons els seus angles interns:
Triangle rectangle té un angle intern de 90 graus (angle recte). El costat oposat a l'angle recte és la hipotenusa, que és el costat més llarg del triangle rectangle. Els altres dos costats es diuen catets.
Triangle obtusangle té un angle intern de més de 90 graus (angle obtús).
Triangle acutangle té els tres angles interns de menys de 90 graus (angles aguts).


Triangle Rectangle Triangle Obtusangle Triangle Acutangle



·Medianes i centre de gravetat

Es diu mediana d'un triangle cadascuna de les tres rectes que passen per un vèrtex del triangle i pel punt mig del costat oposat a aquest vèrtex. Cadascuna de les tres medianes divideix el triangle en dos triangles d'àrees iguals. Les tres medianes d'un triangle són concurrents. El seu punt d'intersecció s'anomena centre de gravetat o baricentre del triangle. Si el triangle fos una placa sòlida homogènia, podria sostenir-se en equilibri sobre una punta posant-la exactament per aquest punt G.
El centre de gravetat del triangle també és el centre de gravetat dels vèrtexs. La distància entre el baricentre i un vèrtex és 2/3 de la distància entre el vèrtex i el punt mitjà del costat oposat.
·Mediatrius i cercle circumscrit

S'anomena mediatriu d'un triangle cada una de les mediatrius dels costats.
Com que la mediatriu d'un segment és el lloc geomètric dels punts equidistants dels extrems del segment, el punt on es tallen dues de les mediatrius del triangle és equidistant las tres vèrtexs, per tant és el centre de la circumferència que passa per tots tres i pertany a la tercera mediatriu.
Es pot afirmar que:
Un triangle és obtusangle si i només si el seu circumcentre és exterior al triangle
Un triangle és acutangle si i només si el seu circumcentre és interior al triangle
Un triangle és rectangle si i només si el seu circumcentre és en un costat del triangle.

DODECAEDRE

Construint un Omnipoliedre

caracteristiques de l'omnipoliedre

LA PÁGINA DEL OMNIPOLIEDRO
El modelo cosmológico de Kepler está basado en los sólidos pitagórico-platónicos y se inspira en los modelos de Leonardo. En los cinco sólidos platónicos de “Los elementos” de Euclides, Kepler veía los elementos estructurales del universo. Los planetas se abrían camino en un gigantesco puzzle de poliedros regulares: un Tetraedro inscrito en un Cubo, un Dodecaedro inscrito en el Tetraedro, un Icosaedro inscrito en el Dodecaedro y un Octaedro inscrito en el Icosaedro.
Dado un Icosaedro, los centros de sus 20 caras son los vértices de los 12 pentágonos de un Dodecaedro. Al trazar una diagonal en cada uno de los 12 pentágonos del Dodecaedro se obtienen las 12 aristas de un Cubo. Las diagonales de las caras del Cubo nos dan las 6 aristas de un Tetraedro. Los puntos medios de las 6 aristas de este Tetraedro son los vértices de un Octaedro. La combinación de los 5 poliedros regulares, debida a Luca Pacioli, se conoce con el nombre de OMNIPOLIEDRO, porque contiene todos los poliedros regulares, cada uno inscrito en el anterior.
El artista holandés Mauritus C. Escher construyó un modelo de alambre de los cinco poliedros regulares platónicos encajados y siempre lo llevaba consigo, como un símbolo de su inspiración artística.
(Hay que tener en cuenta que las barras deben tener menor longitud, ya que se unen en los vértices mediante bridas con un nudo)
DISTINTAS FASES EN LA CONSTRUCCIÓN DEL OMNIPOLIEDRO
Construimos el tetraedro e inscribimos el octaedro, de forma que cada vértice del octaedro sea el punto medio de la arista del tetraedro.
Si intentas construir el cubo “a pelo” verás que la construcción no tiene estabilidad, “no se tiene en pie”. Ello es debido a que el cubo no es un sólido rígido. Para que lo sea hay que construirlo de forma que contenga al tetraedro, el cual le da solidez.
Construimos el cubo alrededor del tetraedro, de manera que los vértices del tetraedro sean vertices alternos del cubo. Así, cada cuadrado del cubo queda cortado por una arista del tetraedro, de forma que las diagonales de las caras del cubo son aristas del tetraedro.
Ahora tenemos los tres primeros poliedros encajados: octaedro, tetraedro y cubo. Los vértices del octaedro se sitúan en los centros de las caras del cubo, lo que indica que el cubo y el octaedro son poliedros duales.
Construimos el dodecaedro a partir del cubo, de forma que en cada vértice del cubo concurren tres vértices del dodecaedro. Como algunos de los vértices ya tienen seis barras, las tres que añadimos en ese caso las intercalamos con las existentes. De la misma forma, completamos los doce pentágonos regulares del dodecaedro.
Las barras del icosaedro deben introducirse por el interior de las barras del dodecaedro, ya que es el icosaedro el que da rigidez al dodecaedro. Las aristas del dodecaedro y del icosaedro se unen en sus puntos medios y cada vértice del icosaedro debe quedar en el centro de cada cara del dodecaedro.

http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com/2009/10/57-solidos-platonicos-el-omnipoliedro.html

http://www.alu.ua.es/c/cmgc/omnipoliedro.htm